Loģika un metalogika
Vienā ziņā loģika ir jāidentificē ar pirmās kārtas predikatīvajiem aprēķiniem - aprēķiniem, kuros mainīgie ir ierobežoti ar fiksēta domēna indivīdiem - lai arī tas var ietvert arī identitātes loģiku, kas simbolizēta “=”, kas loģikas ietvaros ņem parastās identitātes īpašības. Šajā ziņā Gottlob Frege formālu loģikas aprēķinu panāca jau 1879. gadā. Dažreiz loģiku tomēr interpretē kā tādu, kas iekļauj arī augstākas kārtas predikāta kalkulus, kas pieļauj augstāku tipu mainīgos, piemēram, tādus, kuru diapazons pārsniedz predikātus (vai klases un attiecības) un tā tālāk. Bet tad tas ir mazs solis uz kopas teorijas iekļaušanu, un patiesībā aksiomātisko kopu teoriju bieži uzskata par loģikas daļu. Tomēr šī raksta vajadzībām ir lietderīgāk ierobežot diskusijas ar loģiku pirmajā nozīmē.
Ir grūti nodalīt nozīmīgus atradumus loģikā no metalogikas atradumiem, jo visas loģiku interesējošās teorēmas attiecas uz loģiku un tāpēc pieder metalogikai. Ja p ir matemātiska teorēma - it īpaši viena par loģiku - un P ir matemātisko aksiomu savienojums, ko izmanto, lai pierādītu p, tad katru p var loģikā pārvērst par teorēmu “vai nu nav P vai p”. Matemātika tomēr netiek veikta, precīzi izpildot visus loģiski formalizētos soļus; aksiomu atlase un intuitīva satveršana ir svarīga gan matemātikai, gan metamatemātikai. Faktiski loģikas atvasinājumi, piemēram, tie, kurus tieši pirms Pirmā pasaules kara veica Alfrēds Ziemeļboldheads un Bertrands Rasels, loģistiku maz interesē. Tāpēc varētu šķist lieki ieviest terminu metalogic. Tomēr šajā klasifikācijā metalogika tiek uzskatīta par tādu, kas nodarbojas ne tikai ar atklājumiem par loģiskajiem aprēķiniem, bet arī ar formālo sistēmu un formālo valodu pētījumiem kopumā.
Parasta formāla sistēma atšķiras no loģiskā aprēķina ar to, ka sistēmai parasti ir paredzēta interpretācija, turpretim loģiskā aprēķināšana apzināti atstāj atvērtas iespējamās interpretācijas. Tādējādi var runāt, piemēram, par teikumu patiesumu vai nepatiesību formālā sistēmā, bet attiecībā uz loģisko aprēķinu tiek runāts par derīgumu (ti, par patiesību visās interpretācijās vai visās iespējamās pasaulēs) un par apmierinātību (vai modeļa esamība, ti, taisnība kādā noteiktā interpretācijā). Tādējādi loģiskā aprēķina pilnīgumam ir pavisam cita nozīme nekā formālajai sistēmai: loģisks aprēķins pieļauj daudzus teikumus, ka ne teikums, ne tā noliegšana nav teorēma, jo dažās interpretācijās tā ir pareiza un citās nepatiesa, un tas prasa tikai to, lai katrs derīgs teikums būtu teorēma.
