Kurts Gēdels (Kurt Gödel, Gödel) arī uzrakstīja Gēdelu (dzimis 1906. gada 28. aprīlī Brūnnē, Austrijā-Ungārijā [tagad Brno, Čehijas Republika] - miris 1978. gada 14. janvārī, Prinstonā, Ņujorkā, ASV), Austrijā dzimušu matemātiķi, loģiķi un filozofs, kurš ieguva to, kas varētu būt vissvarīgākais 20. gadsimta matemātiskais rezultāts: viņa slavenā nepabeigtības teorēma, kurā teikts, ka jebkurā aksiomātiskajā matemātiskajā sistēmā ir priekšlikumi, kurus nevar pierādīt vai atspēkot, pamatojoties uz šīs sistēmas aksiomām; tādējādi šāda sistēma nevar vienlaikus būt pilnīga un konsekventa. Šis pierādījums ļāva Gēdelam kļūt par vienu no lielākajiem loģiķiem kopš Aristoteļa, un tā ietekme joprojām ir jūtama un diskutēta arī šodien.
matemātikas pamati: Gēdels
Hilberta programmā netiešā veidā bija izteikta cerība, ka sintaktiskais priekšstats par provalabumu aptvers patiesības semantisko priekšstatu. Gēdels
Agrīna dzīve un karjera
Gēdels vairākus bērnus cieta no sliktas veselības periodiem pēc sevis 6 gadu vecumā ar reimatisko drudzi, kas viņam lika baidīties no dažām sirdsdarbības problēmām. Viņa rūpes par veselību mūža garumā, iespējams, veicināja viņa paranoju, kas ietvēra obsesīvi tīrīšanu no ēšanas piederumiem un satraukumu par ēdiena tīrību.
Gēdels, būdams vāciski runājošais austrietis, pēkšņi nonāca jaunizveidotajā Čehoslovākijas valstī, kad Austroungārijas impērija tika sadalīta Pirmā pasaules kara beigās 1918. gadā. Sešus gadus vēlāk viņš tomēr devās studēt uz Austriju, Vīnes universitātē, kur 1929. gadā ieguva doktora grādu matemātikā. Nākamajā gadā viņš iestājās Vīnes universitātes fakultātē.
Tajā laikā Vīne bija viens no intelektuālajiem centriem pasaulē. Tajā atradās slavenais Vīnes aplis - zinātnieku, matemātiķu un filozofu grupa, kas atbalstīja naturālistisko, izteikti empīrisko un antimetafizisko uzskatu, kas pazīstams kā loģiskais pozitīvisms. Gēdela disertācijas konsultants Hanss Hāns bija viens no Vīnes loka vadītājiem, un viņš iepazīstināja grupu ar savu zvaigžņu studentu. Tomēr paša Gēdela filozofiskie uzskati nevarēja vairāk atšķirties no pozitīvistu uzskatiem. Viņš atbalstīja platonismu, teismu un prāta un ķermeņa duālismu. Turklāt viņš bija arī garīgi nestabils un pakļauts paranojai - problēmai, kas novecojot kļuva vēl sliktāka. Tādējādi kontakts ar Vīnes apļa dalībniekiem atstāja viņu sajūtu, ka 20. gadsimts bija naidīgs pret viņa idejām.
Gēdela teorēmas
Savā promocijas darbā “Über die Vollständigkeit des Logikkalküls” (“Par loģikas aprēķinu pilnīgumu”), kas publicēts nedaudz saīsinātā formā 1930. gadā, Gēdels pierādīja vienu no vissvarīgākajiem gadsimta loģiskajiem rezultātiem - patiešām, visu laiku, proti, pabeigtības teorēma, kas konstatēja, ka klasiskā pirmās kārtas loģika jeb predikatīvais aprēķins ir pilnīgs tādā nozīmē, ka visas pirmās kārtas loģiskās patiesības var pierādīt standarta pirmās kārtas pierādīšanas sistēmās.
Tas tomēr nebija nekas, salīdzinot ar Gēdela 1931. gadā publicēto, proti, nepilnības teorēmu: “Über formali unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“Par formāli neizzināmiem Principia Mathematica un saistīto sistēmu priekšlikumiem”). Aptuveni runājot, ar šo teorēmu tika iegūts rezultāts, ka aksiomātisko metodi nav iespējams izmantot matemātiskās teorijas konstruēšanai nevienā matemātikas nozarē, kas ietver visas patiesības šajā matemātikas nozarē. (Anglijā Alfred North Whitehead un Bertrand Russell gadiem bija veltījuši šādu programmu, kuru viņi publicēja kā Principia Mathematica trīs sējumos 1910., 1912. un 1913. gadā.) Piemēram, nav iespējams nākt klajā ar aksiomātisku matemātikas teoriju. kas satur pat visas patiesības par dabiskajiem skaitļiem (0, 1, 2, 3,
). Tas bija ārkārtīgi svarīgs negatīvs rezultāts, jo pirms 1931. gada daudzi matemātiķi mēģināja tieši to izdarīt - konstruēt aksiomu sistēmas, kuras varētu izmantot, lai pierādītu visas matemātiskās patiesības. Vairāki labi pazīstami loģiķi un matemātiķi (piemēram, Vaitheds, Rasels, Gotlobs Frege, Deivids Hilberts) šim projektam veltīja ievērojamu savas karjeras daļu. Diemžēl viņiem Gēdela teorēma iznīcināja visu aksiomatisko pētījumu programmu.
Starptautiskā atzīme un pārcelšanās uz ASV
Pēc nepilnības teorēmas publicēšanas Gēdels kļuva par starptautiski pazīstamu intelektuālu cilvēku. Viņš vairākas reizes devās uz ASV un plaši lasīja lekcijas Prinstonas universitātē Ņūdžersijā, kur tikās ar Albertu Einšteinu. Tas bija sākums ciešai draudzībai, kas ilgs līdz Einšteina nāvei 1955. gadā.
Tomēr tieši šajā laika posmā Gēdela garīgā veselība sāka pasliktināties. Viņš cieta no depresijas pārrāvumiem, un pēc viena no Vīnes aprindas līderiem Morica Šlica slepkavības, ko izdarīja kāds nolauzts students, Gēdels cieta nervu sabrukumu. Turpmākajos gados viņš cieta vēl vairākus.
Pēc tam, kad nacistiskā Vācija 1938. gada 12. martā pievienoja Austriju, Gēdels nonāca diezgan neērtā situācijā, daļēji tāpēc, ka viņam bija sena vēsture ciešās attiecībās ar dažādiem Vīnes loka ebreju biedriem (patiesībā viņam bija uzbrukuši Vīnes ielās) jaunieši, kuri uzskatīja, ka viņš ir ebrejs) un daļēji tāpēc, ka pēkšņi viņam draudēja iesaukšana vācu armijā. 1938. gada 20. septembrī Gēdels apprecējās ar Adeli Nimburski (dzim. Porkert), un, kad gadu vēlāk izcēlās Otrais pasaules karš, viņš kopā ar sievu aizbēga no Eiropas, pārceļot Sibīrijas dzelzceļu pāri Āzijai, kuģojot pāri Klusajam okeānam, un pēc tam ar citu vilcienu pa Savienotajām Valstīm uz Prinstonu, Ņujorkā, kur ar Einšteina palīdzību viņš ieņēma amatu jaunizveidotajā Uzlaboto studiju institūtā (IAS). Atlikušo dzīves daļu viņš pavadīja, strādājot un mācot IAS, no kuras aizgāja pensijā 1976. gadā. Gēdels 1948. gadā kļuva par ASV pilsoni. (Einšteins piedalījās tiesas sēdē, jo Gēdela izturēšanās bija diezgan neparedzama, un Einšteins baidījās, ka Gēdels varētu sabotēt savu. savs gadījums.)
1940. gadā, tikai mēnešus pēc ierašanās Prinstonā, Gēdels publicēja vēl vienu klasisko matemātisko darbu “Izvēles aksiomas un vispārinātās kontinuuma hipotēzes atbilstība kopas teorijas aksiomām”, kas pierādīja, ka izvēles aksioma un kontinuums hipotēze atbilst noteiktās teorijas standarta aksiomām (piemēram, Zermelo-Fraenkel aksiomām). Tas apstiprināja pusi no Gēdela minējumiem, proti, ka kontinuitātes hipotēzi nevarēja pierādīt par patiesu vai nepatiesu standarta kopu teorijās. Gēdela pierādījumi parādīja, ka šajās teorijās to nevar pierādīt kā nepatiesu. 1963. gadā amerikāņu matemātiķis Pols Koens parādīja, ka to nevar pierādīt arī šajās teorijās, apstiprinot Gēdela minējumus.
1949. gadā Gēdels arī sniedza nozīmīgu ieguldījumu fizikā, parādot, ka Einšteina vispārējās relativitātes teorija dod iespēju laika ceļojumā.
