Riemann zeta funkcija, funkcija, kas noder skaitļu teorijā, lai izpētītu galveno skaitļu īpašības. Rakstīts kā ζ (x), tas sākotnēji tika definēts kā bezgalīgā sērijaζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Kad x = 1, šo virkni sauc par harmonisko virkni, kas palielinās bez iesiešanas, ti, tās summa ir bezgalīga. Ja vērtības x ir lielākas par 1, virkne tiek konverģēta līdz ierobežotam skaitlim, pievienojot secīgus nosacījumus. Ja x ir mazāks par 1, summa atkal ir bezgalīga. Zeta funkcija bija zināma Šveices matemātiķim Leonhardam Euleram 1737. gadā, bet vispirms to plaši pētīja vācu matemātiķis Bernhards Riemans.
1859. gadā Riemans publicēja darbu, kurā precīzi formulēta prīmu skaits līdz jebkurai iepriekš noteiktai robežai - nolemts uzlabojums salīdzinājumā ar aptuveno vērtību, ko dod galvenā skaitļa teorēma. Tomēr Riemann formula bija atkarīga no zināšanām par vērtībām, pie kurām ģeta funkcijas vispārinātā versija ir vienāda ar nulli. (Riemann zeta funkcija ir definēta visiem kompleksajiem skaitļiem - formas skaitļiem x + iy, kur i = kvadrātsakne no √-1 - izņemot līniju x = 1.) Riemann zināja, ka funkcija ir vienāda ar nulli visiem negatīvajiem pat veseli skaitļi −2, −4, −6,
(tā dēvētās triviālas nulles) un ka tai ir bezgalīgs nulle kritisko virkņu kompleksu skaitļu joslā starp rindām x = 0 un x = 1, un viņš arī zināja, ka visas nontrivial nulles ir simetriskas attiecībā pret kritisko line x = 1 / 2. Riemans uzskatīja, ka visas nontrivial nulles atrodas uz kritiskās līnijas - minējums, kas vēlāk kļuva pazīstams kā Riemann hipotēze.
1900. gadā vācu matemātiķis Deivids Hilberts Riemana hipotēzi sauca par vienu no vissvarīgākajiem jautājumiem visā matemātikā, par ko liecina tās iekļaušana savā ietekmīgo 23 neatrisināto problēmu sarakstā, ar kuru viņš izaicināja 20. gadsimta matemātiķus. 1915. gadā angļu matemātiķis Godfrijs Hardijs pierādīja, ka kritiskajā līnijā notiek bezgalīgs skaits nulles, un līdz 1986. gadam tika parādīts, ka pirmās 1500 000 001 netriviālas nulles atrodas kritiskajā līnijā. Lai arī hipotēze var izrādīties nepatiesa, šīs sarežģītās problēmas izpēte ir bagātinājusi izpratni par sarežģītajiem skaitļiem.
