Matemātikas pamati

Kategoriju teorija

Abstrakcija matemātikā

Viena no pēdējām tendencēm matemātikas attīstībā ir pakāpenisks abstrakcijas process. Norvēģu matemātiķis Nīls Henriks Ābelis (1802–29) pierādīja, ka piektās pakāpes vienādojumus radikāļi vispār nevar atrisināt. Franču matemātiķis Évariste Galois (1811–32), kuru daļēji motivēja Ābela darbs, ieviesa noteiktas permutāciju grupas, lai noteiktu nepieciešamos nosacījumus polinoma vienādojuma atrisināšanai. Šīs konkrētās grupas drīz izveidoja abstraktas grupas, kuras tika aprakstītas aksiomātiski. Tad saprata, ka, lai pētītu grupas, ir jāaplūko dažādu grupu attiecības, it īpaši homomorfismi, kas kartē vienu grupu citā, saglabājot grupas operācijas. Tādējādi cilvēki sāka pētīt to, ko tagad sauc par konkrētu grupu kategoriju, kuras objekti ir grupas un kuru bultiņas ir homomorfismi. Nepagāja ilgs laiks, līdz konkrētas kategorijas aizstāja ar abstraktām kategorijām, kuras atkal tika aprakstītas aksiomātiski.

Svarīgo kategorijas jēdzienu Otrā pasaules kara beigās ieviesa Samuels Eilenbergs un Saunderss Mac Lane. Šīs modernās kategorijas ir jānošķir no Aristoteļa kategorijām, kuras pašreizējā kontekstā labāk sauc par tipiem. Kategorijai ir ne tikai objekti, bet arī bultiņas (tās dēvē arī par morfismiem, pārvērtībām vai kartēm) starp tām.

Daudzām kategorijām ir objektu komplekti, kas apveltīti ar kādu struktūru un bultiņām, kas šo struktūru saglabā. Tādējādi pastāv kopu (ar tukšu struktūru) un kartējumu, grupu un grupu homomorfismu, gredzenu un gredzenu homomorfismu, vektoru telpu un lineāro pārvērtību, topoloģisko telpu un nepārtrauktu kartējumu kategoriju kategorijas utt. Vēl abstraktākā līmenī pastāv (mazu) kategoriju un funkcionāru kategorija, jo tiek sauktas morfismi starp kategorijām, kas saglabā attiecības starp objektiem un bultiņām.

Ne visas kategorijas var aplūkot šādā konkrētā veidā. Piemēram, deduktīvās sistēmas formulas var uzskatīt par kategorijas objektiem, kuru bultas f: A → B ir B atskaitījumi no A. Faktiski šis skatupunkts ir svarīgs teorētiskajā datorzinātnē, kur formulas domā par kā veidi un atskaitījumi kā operācijas.

Formāli kategoriju veido (1) objektu kolekcija A, B, C,…, (2) katram pasūtītam objektu pārim kolekcijā, kas saistīta ar pārvērtību kolekciju, ieskaitot identitāti I _A ∶ A → A, un (3) saistītais kompozīcijas likums katram pasūtītam trīskāršam objektu kategorijā, kas paredzēts f ∶ A → B un g ∶ B → C kompozīcija gf (vai g ○ f) ir pārveidojums no A uz C, ti, gf ∶ A → C. Turklāt ir nepieciešams turēt asociatīvo likumu un identitātes (kur kompozīcijas ir definēti) -ie, h (GF) = (hg) F un 1 _B f = f = f1.

Savā ziņā abstraktas kategorijas objektiem nav logu, līdzīgi kā Leibnica monādēm. Lai izsecinātu objekta interjeru A, ir jāskatās tikai uz visām bultiņām no citiem objektiem uz A. Piemēram, komplektu kategorijā kopas A elementus var attēlot ar bultiņām no tipiska viena elementa, kas noteikts A. Līdzīgi kategorijā mazo kategorijām, ja 1 ir kategorija, ar vienu objektu, un nav nonidentity bultas, objekti kategorijā A, var identificēt ar functors 1 → A. Turklāt, ja 2. ir kategorija ar diviem objektiem un vienu nonidentity bultas, tad bultas A, var identificēt ar functors 2 → A.

Izomorfās struktūras

Bulta f: no A → B sauc par isomorphism ja bulta ir g: B → un apgriezti līdz f-ka ir tā, ka g ○ f = 1 un f ○ g = 1 _B. Tas ir rakstīts A ≅ B, un A un B sauc par izomorfiem, kas nozīmē, ka tiem būtībā ir vienāda struktūra un ka nav nepieciešams tos atšķirt. Ciktāl matemātiskās vienības ir kategoriju objekti, tām piešķir tikai izomorfismu. Viņu tradicionālās kopējās teorētiskās konstrukcijas, neskaitot noderīgu mērķi parādīt konsekvenci, tiešām nav nozīmes.

Piemēram, parastā veselu skaitļu gredzena konstruēšanā vesels skaitlis tiek definēts kā dabisko skaitļu pāru (m, n) ekvivalences klase, kur (m, n) ir ekvivalents (m ′, n ′), ja un tikai tad, ja m + n ′ = m ′ + n. Ideja ir tāda, ka ekvivalences klase (m, n) ir jāuzskata par m - n. Svarīgi kategoristam ir tas, ka vesels skaitlis ℤ ir sākotnējais objekts gredzenu un homomorfismu kategorijā, tas ir, ka katram gredzenam ℝ ir unikāls homomorfisms ℤ → ℝ. Šādā veidā ℤ tiek dots tikai izomorfisms. Tādā pašā garā jāsaka nevis tas, ka ℤ ir ietverts racionālo skaitļu laukā but, bet tikai tas, ka homomorfisms ℤ → ℚ ir viens pret vienu. Tāpat nav jēgas runāt par π un kvadrātsaknes √-1 kopu teorētisko krustojumu, ja abi ir izteikti kā kopu kopas (ad infinitum).

Īpaša interese par fondiem un citur ir blakus esošajiem izpildītājiem (F, G). Tie ir funktoru pāri starp divām kategorijām ? un ℬ, kas iet pretējos virzienos tā, ka pastāv viena pret otru atbilstība starp bultu kopumu F (A) → B ℬ un bultu kopumu A → G (B).) ? - tas ir, tāds, ka kopas ir izomorfas.