Nepārtraukta hipotēze, kopas teorijas paziņojums, ka reālo skaitļu kopums (kontinuums) savā ziņā ir tik mazs, cik tas var būt. 1873. gadā vācu matemātiķis Georgs Kantors pierādīja, ka kontinuums ir neizskaitāms - tas ir, reālie skaitļi ir lielāka bezgalība nekā skaitīšanas skaitļi - galvenais rezultāts kopas teorijas kā matemātikas priekšmeta sākšanai. Turklāt Cantor izstrādāja veidu, kā klasificēt bezgalīgo kopu lielumus pēc tā elementu skaita vai kardinalitātes. (Skatīt kopu teoriju: Kardinalitāte un transfinitie skaitļi.) Šajos nosacījumos kontinuitātes hipotēzi var izteikt šādi: kontinuuma kardinalitāte ir mazākais neizskaitāmais kardinālais skaitlis.
kopas teorija: kardinalitāte un bezgalīgie skaitļi
minējums, kas pazīstams kā kontinuitātes hipotēze.
Cantor apzīmējumā kontinuitātes hipotēzi var izteikt ar vienkāršo vienādojumu 2 ℵ 0 = ℵ 1, kur ℵ 0 ir bezgalīgas saskaitāmās kopas (piemēram, dabisko skaitļu kopa) kardinālais skaitlis un lielāku “ labi sakārtojami komplekti ”ir ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indeksēti ar kārtas numuriem. Nepārtrauktības kardinalitāti var parādīt ar vienādu 2 ℵ 0; tādējādi kontinuitātes hipotēze izslēdz lieluma kopas pastāvēšanu starp naturālajiem skaitļiem un kontinuumu.
Spēcīgāks apgalvojums ir vispārinātā kontinuitātes hipotēze (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 katram kārtas skaitlim α. Poļu matemātiķis Wacław Sierpiński pierādīja, ka ar GCH var iegūt izvēlētās aksiomas.
Tāpat kā izvēlētās aksiomas gadījumā, Austrijā dzimušais amerikāņu matemātiķis Kurts Gēdels 1939. gadā pierādīja, ka, ja citas standarta Zermelo-Fraenkel aksiomas (ZF; skat.
tabula) ir konsekventi, tad tie neatspēko kontinuitātes hipotēzi vai pat GCH. Tas ir, GCH pievienošanas rezultāts citām aksiomām paliek konsekvents. Tad 1963. gadā amerikāņu matemātiķis Pols Koens pabeidza attēlu, parādot atkal ar pieņēmumu, ka ZF ir konsekvents, ka ZF nesniedz nepārtrauktas hipotēzes pierādījumu.
Tā kā ZF ne pierāda, ne arī atspēko kontinuitātes hipotēzi, paliek jautājums, vai pieņemt kontinuitātes hipotēzi, kuras pamatā ir neformāla koncepcija par to, kas ir kopas. Vispārīgā atbilde matemātikas aprindās ir bijusi negatīva: nepārtrauktās hipotēzes ir ierobežojošs apgalvojums apstākļos, kad nav zināma iemesla noteikt ierobežojumu. Kopu teorijas, power-set darbība uzdots pildīt katru komplektu kardinalitāti ℵ alfa tā, kas visu apakšgrupās, kurā ir kardinalitāte 2. ℵ alfa. Šķiet, ka nav iemesla noteikt ierobežojumus apakškopu daudzveidībai, kāda varētu būt bezgalīgajai kopai.
