Koniskā profila ģeometrija

Koniskais profils, ko ģeometrijā sauc arī par konisko, ir jebkura līkne, ko rada plaknes un labā apļveida konusa krustojums. Atkarībā no plaknes leņķa attiecībā pret konusu, krustojums ir aplis, elipse, hiperbola vai parabola. Īpaši (deģenerēti) krustošanās gadījumi rodas, kad plakne šķērso tikai virsotni (veidojot vienu punktu) vai caur virsotni un citu konusa punktu (veidojot vienu taisnu līniju vai divas taisni, kas krustojas). Skatīt attēlu.

Projektīvā ģeometrija: Projektīvās koniskās sekcijas

Konusveida sekcijas var uzskatīt par taisna apļveida konusa plaknēm (sk. Attēlu). Apsverot

Konisko sekciju pamata aprakstus, bet ne nosaukumus, var izsekot līdz Menaechmus (uzplaukums ap 350 BC), kas ir gan Platona, gan Eudoxus of Cnidus skolēns. Pergas Apolonijs (c. 262–190 bc), kas pazīstams kā “Lielais ģeometrs”, koniskajām sadaļām piešķīra nosaukumus un bija pirmais, kas definēja hiperbolas divus zarus (kas paredz dubultā konusa veidošanos). Apoloniusa astoņu sējumu traktāts par konusu sekcijām “Conics” ir viens no lielākajiem senās pasaules zinātniskajiem darbiem.

Analītiskā definīcija

Konusus var aprakstīt arī kā plaknes līknes, kas ir virzieni (loci) punktam, kas pārvietojas tā, ka tā attāluma attiecība no fiksēta punkta (fokusa) un attāluma no fiksētas līnijas (virziena) ir konstante, ko sauc par līknes ekscentriskums. Ja ekscentriskums ir nulle, līkne ir aplis; ja parabolā ir vienāds ar vienu; ja ir mazāks par vienu, elipse; un, ja tas ir lielāks par vienu, hiperbola. Skatīt attēlu.

Katrs koniskais griezums atbilst formas Ax ² + By ² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0 otrās pakāpes polinoma vienādojuma grafikam, kur x un y ir mainīgie un A, B, C, D, E un F ir koeficienti, kas ir atkarīgi no konkrētā koniskā. Ar piemērotu koordinātu asu izvēli jebkura konusa vienādojumu var samazināt līdz vienai no trim vienkāršām r formām: ^{x 2 / _{a 2} + y 2 / _{b 2} = 1, x 2 / _{a 2} - y 2 / _{b 2} = 1 vai y 2 = 2 pikseļi, kas attiecīgi atbilst elipsei, hiperbolai un parabolai. (Elipse, kur a = b patiesībā ir aplis.) Renē Dekarts (1596–1650) radīja plašu koordinātu sistēmu izmantošanu ģeometrisko līkņu algebriskajai analīzei. Skatīt ģeometrijas vēsturi: Dekarta ģeometrija.}

Grieķu izcelsme

Konisko sekciju agrīnā vēsture ir saistīta ar “kuba divkāršošanas” problēmu. Pēc Kirēnas Eratosthenes (c. 276–190 bc) teiktā, Delosas iedzīvotāji konsultējās ar Apollo orākulu, lai saņemtu palīdzību mēra izbeigšanā (aptuveni 430 bc), un viņiem tika uzdots uzbūvēt Apollo jaunu altāri, kas ir divreiz lielāks par vecā altāra tilpumu. un ar tādu pašu kubisko formu. Satraukti Delians konsultējās ar Platonu, kurš paziņoja, ka “orākuls nozīmēja nevis to, ka dievs gribētu divkārša izmēra altāri, bet gan, ka viņš, izvirzot viņiem uzdevumu, vēlējās apkaunot grieķus par nolaidību pret matemātiku un nicinājumu. ģeometrijai. ” Hipokrāts no Čiosas (c. 470–410 bc) vispirms atklāja, ka “Delian problēmu” var samazināt līdz divu vidējo proporciju atrašanai starp a un 2a (attiecīgo altāru tilpumi), tas ir, nosakot x un y tā, ka a: x = x: y = y: 2a. Tas ir līdzvērtīgi divu vienādojumu x ² = ay, y ² = 2ax un xy = 2a ² vienlaicīgai risināšanai, kas attiecīgi atbilst divām parabolām un hiperbolai. Vēlāk Archimedes (c. 290–211 bc) parādīja, kā izmantot konusveida sekcijas lodes sadalīšanai divos segmentos ar noteiktu attiecību.

Diokļi (c. 200 bc) ģeometriski parādīja, ka fokusā satiekas stari, piemēram, no Saules, kas ir paralēli revolūcijas paraboloīda asij (ko rada, pagriežot paraboļu ap tās simetrijas asi). Tiek apgalvots, ka Arhimēds ir izmantojis šo īpašumu, lai aizdedzinātu ienaidnieka kuģus. Elipses fokusa īpašības minēja Anthemius of Tralles, viens no Konstantinopoles Hagia Sofijas katedrāles arhitektiem (pabeigts 537. sludinājumā), lai nodrošinātu, ka altāri visu dienu var apgaismot saules gaisma.