Aritmētika, matemātikas nozare, kurā skaitļi, skaitļu attiecības un novērojumi par skaitļiem tiek pētīti un izmantoti problēmu risināšanai.
Aritmētika (termins, kas atvasināts no grieķu vārda arithmos, “skaitlis”) parasti attiecas uz skaitļu teorijas, menstruācijas (mērīšanas) mākslas un skaitliskās aprēķināšanas elementiem (tas ir, saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšana, varas palielināšana un sakņu ieguve). Tā nozīme matemātiskajā lietojumā tomēr nav bijusi vienāda. Izcilais vācu matemātiķis Karls Frīdrihs Gauss žurnālā Disquisitiones Arithmeticae (1801) un daži mūsdienu matemātiķi ir lietojuši terminu, lai iekļautu sarežģītākas tēmas. Lasītājam, kurš interesējas par pēdējo, ir atsauce uz raksta numuru teoriju.
Pamatdefinīcijas un likumi
Dabiskie skaitļi
Objektu (vai elementu) kolekcijā (vai komplektā) esošo objektu skaita noteikšanas darbību sauc par skaitīšanu. Šādi iegūtos skaitļus sauc par skaitīšanas skaitļiem vai naturāliem skaitļiem (1, 2, 3,
). Tukšai kopai objekta nav un skaitlis dod skaitli 0, kas, pievienojot dabiskajiem skaitļiem, rada to, kas ir pazīstams kā veseli skaitļi.
Ja objektus no divām kopām var saskaņot tādā veidā, ka katrs elements no katras kopas ir unikāli savienots pārī ar elementu no citas kopas, kopas tiek uzskatītas par vienādām vai līdzvērtīgām. Ekvivalentu kopu jēdziens ir mūsdienu matemātikas pamatu pamats, un tas ir ieviests pamatizglītībā, jo īpaši kā daļa no “jaunās matemātikas” (sk. Attēlu), kas tiek pārmaiņus atzīta un pieņemta lēmumu kopš tās parādīšanās 1960. gados. Skatīt kopu teoriju.
Saskaitīšana un reizināšana
Apvienojot divas objektu kopas, kurās ir a un b elementi, tiek izveidota jauna kopa, kas satur a + b = c objektus. Skaitli c sauc par a un b summu; un katru no tiem sauc par virsnieku. Summas veidošanas operāciju sauc par saskaitīšanu, simbolu + lasot kā “plus”. Šī ir vienkāršākā binārā operācija, kurā binārā ir divu objektu apvienošanas process.
No saskaitīšanas definīcijas ir redzams, ka summējumu secību var mainīt un summēšanas operācijas kārtību var mainīt, ja to piemēro trim summām, neietekmējot summu. Tos attiecīgi sauc par komutācijas papildināšanas likumu un asociatīvo pievienošanas likumu.
Ja pastāv naturāls skaitlis k tā, ka a = b + k, tiek teikts, ka a ir lielāks par b (rakstīts a> b) un ka b ir mazāks par a (rakstīts b <a). Ja a un b ir kādi divi naturāli skaitļi, tad ir a = b vai a> b, vai a <b (trichotomijas likums).
No iepriekšminētajiem likumiem ir acīmredzams, ka atkārtota summa, piemēram, 5 + 5 + 5, nav atkarīga no summēšanas veida. to var uzrakstīt 3 × 5. Tādējādi tiek definēta otrā binārā operācija, ko sauc par reizināšanu. Skaitli 5 sauc par reizinājumu; skaitli 3, kas apzīmē summu skaitu, sauc par reizinātāju; un rezultātu 3 × 5 sauc par produktu. Šīs operācijas simbols × tiek lasīts “reizes”. Ja ciparus apzīmē ar šādiem burtiem kā a un b, reizinājumu a × b bieži raksta ∙ b vai vienkārši ab.
Ja ir uzrakstītas trīs piecu punktu rindas, kā parādīts zemāk, ir skaidrs, ka kopējais punktu skaits masīvā ir 3 × 5 vai 15. Šo pašu punktu skaitu acīmredzami var uzrakstīt piecās trīs punktu rindās katrā, no kurienes 5 × 3 = 15. Arguments ir vispārīgs, kas ved likumam, ka reizināšanas reizinājums neietekmē produktu, ko sauc par reizināšanas komutācijas likumu. Bet ir zīmīgi, ka šis likums neattiecas uz visām matemātiskajām vienībām. Patiešām, piemēram, liela daļa mūsdienu fizikas matemātisko formulējumu ir ļoti atkarīgs no fakta, ka daži entīti nemudina.
Izmantojot trīsdimensiju punktu masīvu, kļūst skaidrs, ka reizināšanas kārtība, ja to piemēro trim skaitļiem, produktu neietekmē. Šādu likumu sauc par asociatīvo reizināšanas likumu. Ja 15 iepriekš uzrakstītie punkti ir sadalīti divās kopās, kā parādīts, tad pirmais komplekts sastāv no trim kolonnām, kurās ir trīs punkti katrā, vai 3 × 3 punkti; otro komplektu veido divas kolonnas ar trim punktiem katrā vai 2 × 3 punkti; summa (3 × 3) + (2 × 3) sastāv no 3 + 2 = 5 kolonnām ar trim punktiem katrā vai (3 + 2) × 3 punktiem. Parasti var pierādīt, ka summas reizināšana ar skaitli ir tāda pati kā divu atbilstošo produktu summa. Šādu likumu sauc par sadales likumu.
Veseli skaitļi
Atņemšana nav ieviesta tā vienkāršā iemesla dēļ, ka to var definēt kā saskaitīšanas apgriezto. Tādējādi divu skaitļu a un b starpību a - b definē kā vienādojuma b + x = a risinājumu x. Ja skaitļu sistēma ir ierobežota ar dabiskajiem skaitļiem, atšķirībām ne vienmēr ir jābūt, bet, ja tās pastāv, piecus aritmētikas pamatlikumus, kā jau tika runāts, var izmantot, lai pierādītu, ka tie ir unikāli. Turklāt saskaitīšanas un reizināšanas operāciju likumus var paplašināt, lai tos piemērotu atšķirībām. Veseli skaitļi (ieskaitot nulli) var tikt paplašināti, iekļaujot risinājumu 1 + x = 0, tas ir, skaitli −1, kā arī visus produktus formā −1 × n, kur n ir vesels skaitlis. Paplašināto skaitļu kolekciju sauc par veseliem skaitļiem, no kuriem pozitīvie veseli skaitļi ir tādi paši kā dabiskie skaitļi. Skaitļus, kas šādā veidā tiek ieviesti nesen, sauc par negatīvajiem skaitļiem.
