Riemann hipotēze, skaitļu teorijā, vācu matemātiķa Bernharda Riemann hipotēze par Riemann zeta funkcijas risinājumu atrašanās vietu, kas ir savienota ar sākotnējā skaitļa teorēmu un kurai ir nozīmīga ietekme uz primāro skaitļu sadalījumu. Riemans hipotēzi iekļāva darbā “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“Par sākotnējo skaitļu skaitu, kas mazāks par noteikto daudzumu”), kas tika publicēts Monatsberichte der Berliner Akademie 1859. gada novembra izdevumā (“Mēneša pārskats”). no Berlīnes akadēmijas ”).
Zeta funkcija tiek definēta kā bezgalīgā virkne ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯ vai, kompaktākā apzīmējumā, , kur n skaitļu summēšana (Σ) ir no 1 līdz bezgalībai caur pozitīvajiem skaitļiem un s ir fiksēts pozitīvs vesels skaitlis, kas lielāks par 1. Zeta funkciju pirmo reizi pētīja Šveices matemātiķis Leonhards Eilers 18. gadsimtā. (Šī iemesla dēļ to dažreiz sauc par Eulera zeta funkciju. Attiecībā uz) (1) šī sērija ir vienkārši harmoniskā virkne, kas kopš senatnes ir zināma, ka tā palielinās bez iesiešanas, ti, tās summa ir bezgalīga.) Eulers ieguva tūlītēju slavu, kad viņš izrādījās 1735. ka ζ (2) = π 2 /6 problēma, kas ir izvairīšanās vislielāko matemātiķi no laikmeta, tostarp Šveices Bernulli ģimenes (Jakob, Johann, un Daniel). Vispārīgāk runājot, Eulers atklāja (1739) sakarību starp zeta funkcijas vērtību pat veseliem skaitļiem un Bernoulli skaitļiem, kas ir koeficienti Teilora sērijas x / (e x - 1) paplašinājumam. (Skat. Arī eksponenciālo funkciju.) Vēl pārsteidzošāk, 1737. gadā Eulers atklāja formulu, kas attiecas uz zeta funkciju, kas ietver bezgalīgas terminu virknes, kas satur pozitīvos veselos skaitļus, un bezgalīgu reizinājumu, kas satur katru galveno skaitli, summēšanu:
Romans paplašināja zeta funkcijas izpēti, iekļaujot kompleksos skaitļus x + iy, kur i = kvadrātsakne no √-1, izņemot līniju x = 1 sarežģītajā plaknē. Riemans zināja, ka zeta funkcija ir vienāda ar nulli visiem negatīvajiem veseliem skaitļiem −2, −4, −6,
(tā saucamās triviālās nulles) un ka tā kompleksa skaitļa kritiskajā joslā ir bezgalīgs skaits nulles, kas stingri atrodas starp rindām x = 0 un x = 1. Viņš arī zināja, ka visas nontrivial nulles ir simetriskas attiecībā pret kritiskā robeža x = 1 / 2. Riemans uzskatīja, ka visas nontrivial nulles atrodas uz kritiskās līnijas - minējums, kas vēlāk kļuva pazīstams kā Riemann hipotēze.
1914. gadā angļu matemātiķis Godfrey Harold Hardy pierādīts, ka bezgalīgi daudz risinājumu ζ (s) = 0 izbraukšanu uz kritisko līniju x = 1 / 2. Pēc tam dažādi matemātiķi parādīja, ka lielai daļai risinājumu ir jāatrodas kritiskajā līnijā, lai gan bieži “pierādījumi”, ka visi ārpustiriāli risinājumi ir uz tā, ir kļūdaini. Risinājumu testēšanai ir izmantoti arī datori, un tiek parādīts, ka pirmie 10 triljoni netriviālo risinājumu atrodas uz kritiskās līnijas.
Riemana hipotēzes pierādījumam būtu tālejošas sekas skaitļu teorijai un PRIMES izmantošanai kriptogrāfijā.
Riemana hipotēze jau sen tiek uzskatīta par lielāko neatrisināto problēmu matemātikā. Tā bija viena no 10 neatrisinātām matemātikas problēmām (drukātā adresē - 23), kuru vācu matemātiķis Deivids Hilberts kā izaicinājumu 20. gadsimta matemātiķiem demonstrēja otrajā Starptautiskajā matemātikas kongresā Parīzē 1900. gada 8. augustā. 2000. gadā amerikāņu matemātiķis Stefans. Smale atjaunināja Hilberta ideju ar 21. gadsimtam nozīmīgu problēmu sarakstu; Rīmana hipotēze bija pirmā. 2000. gadā tā tika izraudzīta par Tūkstošgades problēmu, kas ir viena no septiņām matemātiskajām problēmām, kuru īpašo balvu izvēlējies Kembridžas māla matemātikas institūts Masačūsetsā, ASV. Katras Tūkstošgades problēmas risinājums ir miljons dolāru. ASV Aizsardzības progresīvo pētījumu projektu aģentūra (DARPA) 2008. gadā to uzskaitīja kā vienu no DARPA matemātiskajiem izaicinājumiem, 23 matemātiskām problēmām, attiecībā uz kurām tā lika meklēt pētījumu priekšlikumus finansējuma saņemšanai - “Matemātiskā izaicinājuma deviņpadsmit: noregulējiet Rīmana hipotēzi. Skaitļu teorijas Svētais Grāls. ”
