Permutācijas un kombinācijas, dažādi veidi, kā var atlasīt objektus no kopas, parasti bez nomaiņas, lai veidotu apakškopas. Šo apakškopu atlasi sauc par permutāciju, ja atlases secība ir koeficients, kombinācija, ja pasūtījums nav faktors. Apsverot vēlamo apakšgrupu skaita attiecību pret visu iespējamo apakšgrupu skaitu daudzām azartspēlēm 17. gadsimtā, franču matemātiķi Blēzs Paskāls un Pjērs de Fermats deva impulsu kombinatorikas un varbūtību teorijas attīstībai.
kombinatorika: Binomālie koeficienti
n objektus sauc par n vienā reizē uzņemtu n lietu permutāciju. Permutāciju skaits ir
Permutāciju un kombināciju jēdzienus un atšķirības var ilustrēt, izpētot visus dažādos veidus, kā objektu pāri var izvēlēties no pieciem atšķirīgiem objektiem, piemēram, burtiem A, B, C, D un E. Ja abi tiek ņemti vērā atlasītie burti un atlases secība, tad ir iespējami šādi 20 rezultāti:
Katru no šīm 20 iespējamajām atlases iespējām sauc par permutāciju. Jo īpaši tos sauc par piecu objektu permutācijām, kas veikti divi vienlaicīgi, un šādu iespējamo permutāciju skaitu apzīmē ar simbolu 5 P 2, lasot “5 permuts 2”. Parasti, ja ir pieejami n objekti, no kuriem izvēlēties, un permutācijas (P) ir jāveido, izmantojot objektu k vienā reizē, iespējamo dažādo permutāciju skaitu apzīmē ar simbolu n P k. Tā novērtēšanas formula ir n P k = n! / (N - k)! Izteiciens n! Lasīt “n koeficienta” norāda, ka visi secīgie pozitīvie veseli skaitļi no 1 līdz n ieskaitot ir jāreizina kopā, un 0! ir definēts kā vienāds ar 1. Piemēram, izmantojot šo formulu, piecu objektu permutāciju skaits, kas uzņemti divi vienlaicīgi, ir
(K = n, n P k = n! Tādējādi 5 objektiem ir 5! = 120 izkārtojumi.)
Kombinācijām k objektus izvēlas no n objektu kopas, lai ražotu apakškopas bez pasūtīšanas. Pretstatā iepriekšējam permutācijas piemēram ar atbilstošo kombināciju, AB un BA apakškopas vairs nav atšķirīgas atlases; novēršot šādus gadījumus, paliek tikai 10 dažādas iespējamās apakšgrupas - AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE un DE.
Šādu apakškopu skaits tiek apzīmēts ar n C k, lasīt “n izvēlēties k”. Kombinācijām, jo k objektiem ir k! vienošanās, ir k! neatdalāmas permutācijas katrai k objektu izvēlei; līdz ar to permutācijas formulu dalot ar k! iegūst šādu kombinētu formulu:
Tas ir tāds pats kā (n, k) binomija koeficients (sk. Binomālās teorēmu). Piemēram, piecu objektu kombināciju skaits, kas uzņemti divi vienlaicīgi, ir
Par formulas n P k un n C k sauc skaitīšanas formulas, jo tās var izmantot, lai saskaitītu iespējamo permutāciju vai kombinācijas konkrētajā situācijā bez tos visus uzskaitīt.
