Formāla loģika

Semantiskais tabuliņš

Kopš 1980. gadiem cita metode argumentu pamatotības noteikšanai personālajā datorā vai LPC ir ieguvusi zināmu popularitāti gan tāpēc, ka tā ir viegli mācāma, gan arī to, ka datorprogrammas to vienkārši īsteno. Sākotnēji to ieteica holandiešu žurnālists Everts W. Beth, un to pilnīgāk izstrādāja un publicēja amerikāņu matemātiķis un loģiķis Raimonds M. Smullyāns. Balstoties uz novērojumu, ka pamatota argumenta telpām nav iespējams būt patiesam, kamēr secinājums ir nepatiess, šī metode mēģina interpretēt (vai novērtēt) telpas tā, lai tās visas vienlaikus apmierinātu, un secinājums arī ir apmierināts. Panākumi šādos centienos parādītu argumentu par nederīgu, savukārt, ja šāda interpretācija nerastos, tas izrādītos pamatots.

Semantiskā tabulas konstruēšana notiek šādi: personālajā datorā izsaka argumenta secinājuma pieņēmumus un noliegumu, izmantojot tikai nolieguma (∼) un disjunkcijas (∨) kā ierosinošos savienojumus. Likvidējiet katru secīgu divu nolieguma pazīmju parādīšanos (piemēram, ∼∼∼∼∼a kļūst par ∼a). Tagad izveidojiet koku diagrammu, kas sazarojas uz leju, lai katru disjunkciju aizstātu ar diviem zariem, vienu pa kreiso disjunktu un otru labajam. Sākotnējā atšķirība ir patiesa, ja kāda no jomām ir patiesa. Atsauce uz De Morgana likumiem parāda, ka disjunkcijas noliegums ir taisnība tikai gadījumā, ja abu disjunkciju negatīvi ir patiesi [ti, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Šis semantiskais novērojums noved pie noteikuma, ka disjunkcijas noliegums kļūst par vienu zaru, kurā ir katra disjunkcija noliegums:

Apsveriet šo argumentu:

Rakstīt:

Tagad izsvītrojiet atdalījumu un izveidojiet divus zarus:

Tikai tad, ja visi teikumi vismaz vienā filiālē ir patiesi, sākotnējām telpām ir taisnība un secinājums ir nepatiess (līdzīgi secinājuma noliegumam). Izsekojot līnijas augšup katrā zarā līdz koka augšdaļai, tiek novērots, ka, novērtējot a kreisajā zarā, visi šīs nozares teikumi saņem patieso vērtību (a un ∼a klātbūtnes dēļ).. Tāpat pareizajā zarā b un ∼b klātbūtne neļauj novērtējumam iegūt visus filiāles teikumus, kas saņem patieso vērtību. Tās ir visas iespējamās filiāles; tādējādi nav iespējams atrast situāciju, kad telpas ir patiesas un secinājumi nepatiesi. Tāpēc sākotnējais arguments ir pamatots.

Šo paņēmienu var attiecināt arī uz citiem savienojumiem:

Turklāt LPC ir jāievieš noteikumi par kvantitatīvi noteikto spaiļu precizēšanu. Skaidrs, ka jebkura atzara, kas satur gan (∀x) ϕx, gan ∼ϕy, ir tāda, kurā ne visus šīs atzares teikumus var izpildīt vienlaicīgi (ar pieņēmumu par consistency konsekvenci; sk. Metalogiku). Atkal, ja visas nozares nav vienlaicīgi izpildāmas, sākotnējais arguments ir derīgs.

Īpašas LPC sistēmas

LPC, kā aprakstīts iepriekš, var modificēt, dažādos veidos ierobežojot vai paplašinot wff diapazonu:

• 1.Daļējas LPC sistēmas. Šeit ir aprakstītas dažas no svarīgākajām sistēmām, kuras rada ierobežojumi:

  • a. Var pieprasīt, lai katrs predikatīvais mainīgais būtu monādisks, vienlaikus pieļaujot bezgalīgu skaitu atsevišķu un predikatīvu mainīgo. Tad atomu wff ir vienkārši tādas, kas sastāv no predikatīva mainīgā, kam seko viens atsevišķs mainīgais. Pretējā gadījumā veidošanas noteikumi paliek tādi paši kā iepriekš, un arī derīguma definīcija ir tāda pati kā iepriekš, lai gan acīmredzami vienkāršoti. Šī sistēma ir pazīstama kā monadic LPC; tas nodrošina īpašību, bet ne attiecību loģiku. Svarīga šīs sistēmas īpašība ir tā, ka tā ir pieņemama. (Tomēr pat viena dinamiskā predikatīvā mainīgā ieviešana padarīs sistēmu nenosakāmu, un faktiski ir pierādīts, ka pat sistēma, kurā ir tikai viens divadic predikāta mainīgais, un nav citu predikātu mainīgo lielumu, ir nosakāma.)

  • b) Vēl vienkāršāku sistēmu var izveidot, pieprasot (1), lai katrs predikatīvais mainīgais būtu monādisks, (2) tiktu izmantots tikai viens atsevišķs mainīgais (piemēram, x), (3) lai visi šī mainīgā gadījumi būtu sasaistīti, un (4) ka neviena cita ietvaros nenotiek kvantificētājs. Šīs sistēmas wff piemēri ir (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“Kas ir ϕ, ir gan both, gan χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“Ir kaut kas tāds, kas ir ϕ, bet nav ψ”); un (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Ja kāds ir ϕ ir ψ, tad kaut kas ir gan ϕ, gan ψ”). Šīs sistēmas apzīmējumu var vienkāršot, visur izlaižot x un rakstot ∃ϕ “Kaut kas ir”, ∀ (ϕ ⊃ ψ) “Kas ir, kas ir ψ” utt. Lai arī šī sistēma ir rudimentārāka pat par monadisko LPC (kuras fragments tas ir), tajā var attēlot plašu secinājumu formas. Tā ir arī sistēma, par kuru var nolemt, un par to var piešķirt elementāras lēmumu pieņemšanas procedūras.

• 2. LPC paplašinājumi. Ir izveidotas sarežģītākas sistēmas, kurās var izteikt plašāku piedāvājumu klāstu, pievienojot LPC jaunus dažāda veida simbolus. Vienkāršākie no šādiem papildinājumiem ir:

  • a.Viena vai vairākas individuālas konstantes (teiksim, a, b,

    ): šīs konstantes tiek interpretētas kā noteiktu personu vārdi; formāli tos atšķir no atsevišķiem mainīgajiem ar to, ka tie nevar notikt skaitļos; piemēram, (∀x) ir skaitlis, bet (∀a) nav.

  • b.Viena vai vairākas predikatīvas konstantes (teiksim, A, B,

    ), katra ar noteiktu pakāpi, kas tiek uzskatīta par tādu, kas apzīmē noteiktas īpašības vai attiecības.

Nākamais iespējamais papildinājums, kas prasa nedaudz pilnīgāku skaidrojumu, sastāv no simboliem, kas paredzēti funkciju aizstāvēšanai. Funkcijas jēdzienu šajā nolūkā var pietiekami izskaidrot šādi. Tiek apgalvots, ka ir noteikta n argumentu funkcija (vai n pakāpes pakāpe), ja ir noteikums, kas norāda unikālu objektu (sauktu par funkcijas vērtību), kad tiek norādīti visi argumenti. Cilvēku jomā, piemēram, “māte” ir monādiska funkcija (viena argumenta funkcija), jo katram cilvēkam ir unikāls indivīds, kas ir viņa māte; un naturālo skaitļu (ti, 0, 1, 2,

), “Un - summa” ir divu argumentu funkcija, jo jebkuram naturālo skaitļu pārim ir naturālais skaitlis, kas ir to summa. Funkcijas simbolu var uzskatīt par tādu, kas veido vārdu no citiem nosaukumiem (tā argumentiem); tādējādi katru reizi, kad x un y nosaukti skaitļi, “x un y summa” nosauc arī skaitli un līdzīgi cita veida funkcijām un argumentiem.

Lai varētu funkcijas izteikt LPC, var pievienot:

• c.Viens vai vairāki funkciju mainīgie (teiksim, f, g,

  ) vai vienu vai vairākas funkcijas konstantes (teiksim, F, G,

  ) vai abus, katrs ar noteiktu pakāpi. Pirmie tiek interpretēti kā diapazoni, kas pārsniedz norādīto grādu funkcijas, un otrie kā apzīmē šīs pakāpes īpašās funkcijas.

Kad LPC tiek pievienots kāds no vai visiem –c, veidošanas noteikumi, kas uzskaitīti apakšējā predikāta aprēķina iedaļas pirmajā daļā (sk. Iepriekš apakšējo predikāta aprēķinu), ir jāmaina, lai jaunos simbolus varētu iestrādāt WFF. To var izdarīt šādi: Terminu vispirms definē kā (1) atsevišķu mainīgo vai (2) kā individuālu konstanti vai (3) jebkuru izteiksmi, kas veidojas, n-pakāpes funkcijas mainīgajam vai funkcijas konstantei piestiprinot jebkurus n nosacījumus (šie termini - funkcijas simbola argumenti - parasti tiek atdalīti ar komatiem un iekavās). Tad 1. formācijas noteikumu aizstāj ar:

• 1′.Izteiciens, kas sastāv no predikāta mainīga lieluma vai predikāta konstantes pakāpei n, kurai seko n termins, ir wff.

Aksiomātiskajam pamatam, kas dots sadaļā par LPC aksiomatizāciju (skatīt iepriekš LPC aksiomatizāciju), ir vajadzīgas arī šādas modifikācijas: aksiomu shēmā 2 jebkuram vārdam ir atļauts aizstāt a, kad veidojas β, ar nosacījumu, ka nevienam mainīgajam, kas brīvs termins kļūst saistīts ar β. Šie piemēri ilustrēs iepriekš minēto LPC papildinājumu izmantošanu: ļaujiet atsevišķo mainīgo vērtībām būt naturālajiem skaitļiem; ļaujiet atsevišķām konstantēm a un b apzīmēt attiecīgi skaitļus 2 un 3; vidējais “ir galvenais”; un ļaujiet F apzīmēt dimadisko funkciju “summu”. Tad AF (a, b) izsaka ierosinājumu “2 un 3 summa ir galvenā,” un (∃x) AF (x, a) izsaka ierosinājumu “Pastāv tāds skaitlis, ka tā un 2 summa ir galvenā. ”

Konstantu ieviešana parasti tiek papildināta ar aksiomātisko bāzi ar īpašām aksiomām, kas satur šīs konstantes, kas paredzētas, lai izteiktu principus, kas satur objektus, īpašības, attiecības vai funkcijas, kuras tie pārstāv, lai arī tie netur objektus, īpašības, attiecības vai funkcijas kopumā. Piemēram, var nolemt izmantot konstantu A, lai parādītu divadisko attiecību “ir lielāka par” (tā, lai Aksi nozīmē “x ir lielāks par y” utt.). Šīs attiecības atšķirībā no daudzām citām ir pārejošas; ti, ja viens objekts ir lielāks par sekundi un otrais ir savukārt lielāks par trešo, tad pirmais ir lielāks par trešo. Tāpēc varētu pievienot šādu īpašu aksiomu shēmu: ja t ₁, t ₂ un t ₃ ir kādi termini, tad (Pie ₁ t ₂ · Pie ₂ t ₃) ⊃ Pie ₁ t ₃ ir aksioma. Ar šādiem līdzekļiem var izveidot sistēmas, lai izteiktu dažādu noteiktu disciplīnu loģiskās struktūras. Joma, kurā veikts lielākais šāda veida darbs, ir aritmētiskā naturālā skaitļa.

PC un LPC dažreiz tiek apvienoti vienā sistēmā. To var izdarīt visvienkāršāk, pievienojot piedāvājuma mainīgos lielumus LPC primitīvu sarakstam, pievienojot veidošanas kārtulu, lai secinātu, ka atsevišķi stāvošs mainīgais ir wff, un svītrojot “LPC” 1. aksiomas shēmā. Tas dod kā wFF šādus izteicienus. kā (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx un (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-ar identitāti. Vārds “ir” ne vienmēr tiek lietots vienādi. Piedāvājumā, piemēram, (1) “Sokrats ir aizlikts ar degunu”, izteiciens pirms “ir” nosauc indivīdu, un izteiciens, kas seko tam, apzīmē īpašību, kas tai piešķirta. Bet tādā izteikumā kā (2) “Sokrats ir atēnu filozofs, kurš dzēra Hemlocku”, izteicieni pirms un pēc “ir” ir gan vārda indivīdi, gan visa priekšlikuma jēga ir tāda, ka indivīds, kuru nosaukusi pirmais tāds pats indivīds kā otrais nosauktais indivīds. Tādējādi 2 variantā “ir” var izvērst līdz “ir tāds pats indivīds kā”, turpretī vienā tas nav. Kā lietots 2. punktā, “ir” apzīmē divādiskas attiecības, proti, identitāti, ko apgalvojums paredz turēt starp diviem indivīdiem. Identitātes piedāvājums šajā kontekstā ir jāsaprot kā tāds, kas apgalvo tikai to; it īpaši tas nav jāuzskata par apgalvojumu, ka abiem nosaukuma izteikumiem ir vienāda nozīme. Daudz apspriests piemērs, lai ilustrētu šo pēdējo punktu, ir “Rīta zvaigzne ir vakara zvaigzne.” Ir nepatiess, ka izteicieni “rīta zvaigzne” un “vakara zvaigzne” nozīmē to pašu, taču ir taisnība, ka priekšmets, uz kuru atsaucas pirmais, ir tas pats, uz kuru atsaucas pēdējais (planēta Venēra).

Lai varētu izteikt identitātes piedāvājuma formas, LPC tiek pievienota divdinamiska predikāta konstante, kurai visizplatītākais apzīmējums ir = (rakstīts starp, nevis pirms tā argumentiem). Paredzētā x = y interpretācija ir tāda, ka x ir tāds pats indivīds kā y, un ērtākais lasījums ir “x ir identisks y”. Tās negācija ∼ (x = y) parasti tiek saīsināta kā x ≠ y. Iepriekš sniegtajai LPC modeļa definīcijai (skatīt iepriekš Validity in LPC) tagad ir pievienots noteikums (kas acīmredzami atbilst paredzētajai interpretācijai), ka x = y vērtībai jābūt 1, ja tas pats D tiek piešķirts gan x, gan y, un pretējā gadījumā tā vērtībai jābūt 0; derīgumu var definēt tāpat kā iepriekš. LPC aksiomatiskajai bāzei tiek izdarīti šādi papildinājumi (vai daži līdzvērtīgi): aksioma x = x un aksiomu shēma, kurā, kur a un b ir kādi atsevišķi mainīgie, un α un β ir wff, kas atšķiras tikai ar to, ka pie vienā vai vairākās vietās, kur α ir brīva parādīšanās a, β ir brīva parādīšanās b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) ir aksioma. Šāda sistēma ir pazīstama kā zemāks predikāts-aprēķins ar identitāti; to, protams, var vēl paplašināt citos veidos, kas minēti iepriekš “LPC paplašinājumi”, un šādā gadījumā jebkurš termins var būt =.

Identitāte ir ekvivalences sakarība; ti, tas ir refleksīvs, simetrisks un pārejošs. Tā refleksivitāte ir tieši izteikta aksiomā x = x, un teorēmas, kas izsaka tās simetriju un tranzītivitāti, var viegli iegūt no norādītā pamata.

Daži LPC ar identitāti wifi izsaka priekšlikumus par to lietu skaitu, kurām ir dotais īpašums. “Vismaz viena lieta ir ϕ”, protams, jau var izteikt ar (∃x) ϕx; “Vismaz divas atšķirīgas (neidentiālas) lietas ir ϕ” tagad var izteikt ar (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); un secību var turpināt acīmredzamā veidā. “Maksimāli viena lieta ir ϕ” (ti, “Divas atšķirīgas lietas nav abas ϕ”) var izteikt ar pēdējā pieminētā wff noliegumu vai ar tā ekvivalentu, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], un secību atkal var viegli turpināt. Formulu “Tieši viena lieta ir ϕ” var iegūt, apvienojot formulas “Vismaz viena lieta ir ϕ” un “Vismaz viena lieta ir ϕ”, bet vienkāršāka wff, kas ekvivalenta šai savienojumam, ir (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], kas nozīmē “Ir kaut kas, kas ir ϕ, un viss, kas ir ϕ, ir tā lieta”. Piedāvājumu “Tieši divas lietas ir ϕ” var attēlot ar (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; ti, “Ir divas neidentiālas lietas, no kurām katra ir ϕ, un viss, kas ir ϕ, ir viens vai otrs no šiem”. Skaidrs, ka šo secību var arī pagarināt, lai iegūtu formulu “Tieši n lietas ir ϕ” katram naturālajam skaitlim n. Wff ir ērti saīsināt no “Tieši viena lieta ir ϕ” līdz (∃! X) x. Šo īpašo skaitli bieži skaļi nolasa kā “E-Shriek x”.

Noteikti apraksti

Ja noteikts īpašums ϕ pieder vienam un tikai vienam objektam, ir ērti, ja ir izteiksme, kas šo objektu nosauc. Parasti šim nolūkam izmanto apzīmējumu (ιx) ϕx, ko var lasīt kā “lietu, kas ir ϕ” vai īsāk kā “the”. Parasti, ja a ir jebkurš individuāls mainīgais un α ir jebkurš wff, (ιa) α, tad apzīmē vienu a vērtību, kas padara α patiesu. Formas “tā un tā” izpausmi sauc par noteiktu aprakstu; un (ιx), kas pazīstams kā apraksta operators, var tikt uzskatīts par indivīda vārda veidošanu no piedāvājuma formas. (ιx) ir analogs kvantifikatoram tādā ziņā, ka, kad to prefiksē ar wff α, tas saista katru brīvo x parādīšanos α. Ir atļauta arī saistīto mainīgo atkārtota ievadīšana; vienkāršākā gadījumā (ιx) ϕx un (ιy) ϕy katrs var lasīt vienkārši kā “the”.

Ciktāl tas attiecas uz veidošanas noteikumiem, noteiktus aprakstus var iekļaut LPC, ļaujot formas (ιa) α izteiksmes uzskatīt par terminiem; 1. noteikums ′ iepriekš “LPC paplašinājumi” ļaus tiem rasties atomu formulās (ieskaitot identitātes formulas). “Φ ir (ti, tai ir īpašība) ψ” tad var izteikt kā ψ (ιx) ϕx; “Y ir (tāds pats indivīds kā) ϕ” kā y = (ιx) ϕx; “Φ ir (tāds pats indivīds kā) ψ” kā (ιx) ϕx = (ιy) ψy; un tā tālāk.

To apgalvojumu pareiza analīze, kas satur noteiktus aprakstus, ir izraisījusi ievērojamas filozofiskas pretrunas. Tomēr viens plaši atzīts apgalvojums - būtībā tas, kas aprakstīts Principia Mathematica un pazīstams kā Rasela aprakstu teorija - apgalvo, ka “The” ir jāsaprot tādējādi, ka tieši viena lieta ir ϕ un tā ir arī ψ. Tādā gadījumā to var izteikt ar LPC ar identitāti, kas nesatur apraksta operatorus, proti, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogiski “y ir ϕ” tiek analizēts kā “y ir ϕ un nekas cits nav ϕ”, un līdz ar to to var izteikt ar (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). “The ϕ is the ψ” tiek analizēts kā “Tieši viena lieta ir ϕ, precīzi viena lieta ir ψ, un, kas ir ϕ, ir ψ”, un tādējādi to var izteikt ar (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (y ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx un (ιx) ϕx = (ιy) ψy tad var uzskatīt par attiecīgi saīsinājumiem (1), (2) un (3); un, vispārinot uz sarežģītākiem gadījumiem, visas wff, kas satur aprakstu operatorus, var uzskatīt par saīsinājumiem garākām wffām, kurām to nav.

Analīze, kas noved pie (1) kā formulas “The ϕ ir ψ” noved pie sekojošā “The ϕ nav ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Ir svarīgi atzīmēt, ka (4) nav (1) noliegums; šī nolieguma vietā ir (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Atšķirība starp (4) un (5) nozīmi slēpjas faktā, ka (4) ir taisnība tikai tad, ja ir tieši viena lieta, kas ir ϕ, un šī lieta nav ψ, bet (5) ir taisnība gan šajā gadījumā, gan arī tad, ja nekas nav ϕ un ja ir vairāk nekā viena lieta. Nolaidība starp atšķirību starp (4) un (5) var izraisīt nopietnu domu sajaukšanu; parastā runā bieži nav skaidrs, vai kāds, kurš noliedz, ka the ir ψ, piekrīt, ka tieši viena lieta ir ϕ, bet noliedz, ka tas ir ψ, vai noliedz, ka tieši viena lieta ir ϕ.

Rasela aprakstu teorijas pamatprasība ir tāda, ka apgalvojums, kas satur noteiktu aprakstu, nav jāuzskata par apgalvojumu par objektu, kura nosaukums ir nosaukums, bet drīzāk par eksistenciāli kvantitatīvu apgalvojumu, ka noteiktam (diezgan sarežģītam) īpašumam ir piemēram. Formāli tas ir atspoguļots aprakstos aprakstīto operatoru likvidēšanas noteikumos, kas tika izklāstīti iepriekš.