Analīzes vēsture
Grieķi sastopas ar nepārtrauktu lielumu
Analīze sastāv no tām matemātikas daļām, kurās ir svarīgas nepārtrauktas izmaiņas. Tie ietver kustību un gludu izliekumu un virsmu ģeometrijas izpēti, jo īpaši pieskares, laukumu un tilpumu aprēķināšanu. Senās Grieķijas matemātiķi guva lielus panākumus gan analīzes teorijā, gan praksē. Teorija viņiem bija piespiesta apmēram 500 brd, kad Pitagors atklāja neracionālas pakāpes, un apmēram 450 brd, ko izraisīja Zeno kustības paradoksi.
Pitagorieši un neracionālie skaitļi
Sākotnēji pitagorieši uzskatīja, ka visas lietas var izmērīt ar diskrētajiem naturālajiem skaitļiem (1, 2, 3,
) un to attiecības (parastās frakcijas vai racionāli skaitļi). Šo pārliecību tomēr satricināja atklājums, ka kvadrāta vienības (tas ir, kvadrāta, kura malu garums ir 1) diagonāli nevar izteikt kā racionālu skaitli. Šo atklājumu izraisīja viņu pašu Pitagora teorēma, kas noteica, ka taisnstūra trīsstūra hipotenūza kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu abās pārējās pusēs - mūsdienu apzīmējumā c 2 = a 2 + b 2. Vienības kvadrātā diagonāle ir labā trijstūra hipotenūza ar malām a = b = 1; tātad tā mērs ir√2 kvadrātsakne - iracionāls skaitlis. Pitagors pret saviem nodomiem bija parādījis, ka racionāli skaitļi nav pietiekami, lai izmērītu pat vienkāršus ģeometriskus objektus. (Skat. Sānjoslu: Nesavienojami.) Viņu reakcija bija līnijas līniju segmentu aritmētikas izveidošana, kā atrodams Eiklīda elementu II grāmatā (aptuveni 300 bce), kas ietvēra racionālu skaitļu ģeometrisku interpretāciju. Grieķiem līnijas segmenti bija vispārīgāki nekā skaitļi, jo tie ietvēra gan nepārtrauktu, gan diskrētu lielumu.
Patiešām,√2 kvadrātsakni var saistīt ar racionālajiem skaitļiem tikai ar bezgalīgu procesu. To realizēja Eiklids, kurš izpētīja gan racionālo skaitļu, gan līniju segmentu aritmētiku. Viņa slavenais eiklīda algoritms, pielietojot dabisko skaitļu pārim, noved ierobežotu soļu skaitu līdz viņu lielākajam kopīgajam dalītājam. Tomēr, ja to piemēro līniju segmentu pārim ar neracionālu attiecību, piemēram, K 2 kvadrātsaknei un 1, tas neizbeidzas. Eiklids pat izmantoja šo neterminēšanas īpašību kā iracionalitātes kritēriju. Tādējādi neracionalitāte izaicināja grieķu skaitļa jēdzienu, piespiežot viņus nodarboties ar bezgalīgiem procesiem.
Zeno paradoksi un kustības jēdziens
Tāpat kā kvadrātsakne no√2 bija izaicinājums grieķu skaitļa koncepcijai, arī Zeno paradoksi bija izaicinājums viņu kustības koncepcijai. Aristotelis savā fizikā (apm. 350 bce) citēja Zeno:
Neviena kustība nenotiek, jo tam, kas tiek pārvietots, jāierodas [kursa] vidū, pirms tas pienāk beigās.
Zeno argumenti ir zināmi tikai caur Aristoteli, kurš tos citēja galvenokārt, lai tos atspēkotu. Jādomā, ka Zeno nozīmēja, ka, lai nokļūtu jebkur, vispirms ir jāiet pusceļā un pirms tam ceturto daļu ceļa un pirms tā astotdaļu ceļa un tā tālāk. Tā kā šis attālumu samazināšanas process nonāks bezgalībā (koncepcija, kuru grieķi nepieņemtu pēc iespējas), Zeno apgalvoja, ka “pierāda”, ka realitāte sastāv no nemainīgas esības. Neskatoties uz to, ka viņi izjūt bezgalību, grieķi tomēr secināja, ka šī jēdziens ir nepieciešams nepārtrauktu lielumu matemātikā. Tāpēc viņi sprieda par bezgalību pēc iespējas galīgāk, loģiskā ietvarā, ko sauc par proporciju teoriju un izmantojot izsmelšanas metodi.
Proporciju teoriju izveidoja Eudokss apmēram 350 bce un saglabāja Eiklīda elementu V grāmatā. Tas noteica precīzu sakarību starp racionālajiem lielumiem un patvaļīgajiem lielumiem, nosakot, ka divi magnitūdi ir vienādi, ja mazāk nekā tie racionāli lielumi ir vienādi. Citiem vārdiem sakot, divi lielumi atšķīrās tikai tad, ja stingri starp tiem bija racionāls lielums. Šī definīcija kalpoja matemātiķiem divus gadu tūkstošus un pavēra ceļu analīzes aritmetizācijai 19. gadsimtā, kurā patvaļīgi skaitļi tika precīzi definēti racionālā skaitļa izteiksmē. Proporciju teorija bija pirmā stingrā robežu jēdziena traktēšana, ideja, kas ir mūsdienu analīzes pamatā. Mūsdienu izteiksmē Eudoksusa teorija patvaļīgus lielumus definēja kā racionāla lieluma robežas, un pamata teorēmas par summu, starpību un lielumu reizinājumu bija līdzvērtīgas teorēmām par robežu summu, starpību un reizinājumu.
