Alberts Einšteins par telpas laiku

Eiklīda ģeometrija

Ja ņem vērā Eiklīda ģeometriju, mēs skaidri redzam, ka tā attiecas uz likumiem, kas regulē stingru ķermeņu stāvokli. Šeit tiek ņemta vērā ģeniālā doma izsekot visām attiecībām, kas saistītas ar ķermeņiem un to relatīvo stāvokli, līdz ļoti vienkāršam jēdzienam “attālums” (Strecke). Attālums apzīmē nekustīgu ķermeni, uz kura ir norādīti divi materiāla punkti (zīmes). Attālumu (un leņķu) vienādības jēdziens attiecas uz eksperimentiem, kas saistīti ar sakritībām; tās pašas piezīmes attiecas uz teorijām par kongruenci. Tagad Eiklīda ģeometrijā tādā formā, kādā tā mums tika nodota no Eiklīda, tiek izmantoti pamatjēdzieni “taisna līnija” un “plakne”, kas, šķiet, neatbilst vai katrā ziņā ne tik tieši atbilst pieredzei. attiecībā uz stingru virsbūvju stāvokli. Šajā sakarā jāpiebilst, ka taisnas līnijas jēdzienu var samazināt līdz attāluma jēdzienam.¹ Turklāt ģeometristiem rūp mazāk to, kā izcelt savu pamatjēdzienu saistību ar pieredzi, nekā loģiski izrēķināt ģeometriskos piedāvājumus no dažām sākumā paustajām aksiomām.

Īsumā ieskicēsim, kā, iespējams, no attāluma jēdziena var iegūt Eiklīda ģeometrijas pamatu.

Mēs sākam no attālumu vienādības (attālumu vienādības aksioma). Pieņemsim, ka no diviem nevienlīdzīgiem attālumiem viens vienmēr ir lielāks nekā otrs. Tām pašām aksiomām jāattiecas uz attālumu nevienlīdzību, kā uz skaitļu nevienādību.

Trīs attālumos AB ¹, BC ¹, CA ¹, ja CA ¹ tiek izvēlēts atbilstoši, to atzīmes BB ¹, CC ¹, AA ^{1 var būt izvietotas} viena otrai tādā veidā, ka rodas trijstūris ABC. Attālumam CA ¹ ir augšējā robeža, kurai šī konstrukcija joprojām ir tikai iespējama. Tad punkti A, (BB ') un C atrodas “taisnā līnijā” (definīcija). Tas noved pie jēdzieniem: attāluma iegūšana par summu, kas vienāda ar sevi; dalot attālumu vienādās daļās; attāluma izteikšana skaitļa izteiksmē, izmantojot mērīšanas stieni (atstarpes intervāla definīcija starp diviem punktiem).

Kad šādā veidā ir iegūta jēdziena intervāls starp diviem punktiem vai attāluma garums, mums ir nepieciešama tikai šāda aksioma (Pitagora teorēma), lai analītiski iegūtu Eiklīda ģeometriju.

Katram telpas punktam (atskaites elementam) var piešķirt trīs skaitļus (koordinātas) x, y, z - un tieši pretēji - tādā veidā, ka katram punktu pārim A (x ₁, y ₁, z ₁) un B (x ₂, y ₂, z ₂) teorēma satur:

mēra skaitlis AB = sqroot {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }.

Pēc tam tīri loģiski, pamatojoties uz to, var izveidot visas turpmākas eiklīda ģeometrijas koncepcijas un priekšlikumus, it īpaši priekšlikumus par taisnu līniju un plakni.

Šīs piezīmes, protams, nav paredzētas, lai aizstātu stingri aksiomātisko Eiklīda ģeometrijas uzbūvi. Mēs tikai vēlamies ticami norādīt, kā visas ģeometrijas koncepcijas var tikt atdalītas no attāluma. Tikpat labi mēs varētu būt epitomizējuši visu Eiklīda ģeometrijas pamatu pēdējā teorēmā. Tad saikne ar pieredzes pamatiem tiks nodrošināta ar papildu teorēmu.

Koordinātu var izvēlēties un tā jāizvēlas tā, lai divi punktu pāri, kas atdalīti ar vienādiem intervāliem, ko aprēķina, izmantojot Pitagora teorēmu, var sakrist ar vienu un to pašu piemēroti izvēlēto attālumu (uz cietas).

Eiklīda ģeometrijas jēdzienus un priekšlikumus var atvasināt no Pitagora priekšlikuma, neieviešot stingrus ķermeņus; taču šiem jēdzieniem un piedāvājumiem nebūtu satura, ko varētu pārbaudīt. Tie nav “patiesi” apgalvojumi, bet tikai loģiski pareizi priekšlikumi ar tīri formālu saturu.